Сигнал и отчети

Звукът е бързо трептене на въздуха. Микрофонът го превръща в напрежение, а компютърът го снима 16 000 пъти в секунда – всяка снимка е един отчет, едно число. Цифровият филтър получава тези числа едно по едно и за всяко връща ново число.

Отчет x(n) – n-тото число от записа. Между два отчета минават 1/16 000 s = 62,5 μs.

Входът

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Фигура 1.

Думата „Здравей“, казана от човек (запис от Lingua Libre). Пусни я, пробвай другите звуци или запиши свой звук (колкото искаш дълъг, до 30 s). Приближи вълната (＋ в ъгъла или влачи с мишката) – отблизо се виждат самите отчети, по 16 на всяка милисекунда.

Закъснение z⁻¹

Най-простият филтър просто чака: изходът е входът отпреди k отчета, y(n) = x(n − k). Закъснение с ↔ дръпни200 ms значи k = 3200 отчета. В схемите едно закъснение с един отчет се рисува като кутийка z⁻¹ – това е просто една клетка памет.

z⁻¹ – „закъснение с един отчет“. k такива една след друга дават z⁻ᵏ.

Закъснение

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Изходът: звукът със закъснение

изходът y(n)

закъснение

200 ms

Фигура 2.

Изходът е същият звук, само по-късно. Закъснението не променя звука – мести го във времето.

Импулсна характеристика и конволюция

Да добавим към звука и ехото му: y(n) = x(n) + ↔ дръпни0,6 · x(n − D), където ехото идва след ↔ дръпни250 ms.

Какво прави този филтър с едно-единствено пляскане (импулс)? Връща пляскането и ехото му – две стебла. Това е импулсната характеристика h(n) – „отпечатъкът“ на филтъра. А за всеки друг вход изходът е сума от такива отпечатъци: всеки отчет на входа пуска свое копие на h(n). Това сумиране се казва конволюция.

Импулсна характеристика h(n) – изходът при вход една единица.

Конволюция – изходът = сумата от копия на h(n), по едно за всеки входен отчет.

🧒 Пляскаш веднъж в залата – ехото, което чуваш, е h(n) на залата.

Ехо

Импулсна характеристика h(n): какво прави системата с едно пляскане

h(n)

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Изходът: звукът с ехото

изходът y(n)

сила на ехото c

0,6

ехото след

250 ms

Фигура 3.

Горе – отпечатъкът h(n): самият импулс в 0 ms и ехото му. Долу – думата през филтъра: всяка частица от нея получава свое ехо – това е конволюцията. Пробвай и мелодията.

Диференчно уравнение: нерекурсивен (КИХ) филтър

Формулата, която процесорът смята за всеки нов отчет, се казва диференчно уравнение. Когато изходът зависи само от входа, филтърът е нерекурсивен, или КИХ – с крайна импулсна характеристика: отпечатъкът свършва след последния коефициент.

Пример: средното от последните ↔ дръпни8 отчета (≈ 0,5 ms). Средното изглажда бързите трептения – звукът става по-глух.

КИХ (FIR) – без обратна връзка; винаги устойчив.

Средното от N отчета се казва плъзгаща средна – най-простият нискочестотен филтър.

Плъзгаща средна

h(n): N еднакви стебла по 1/N

h(n)

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Изходът: звукът изгладен

изходът y(n)

N отчета

8

Фигура 4.

Горе – отпечатъкът: N еднакви стебла, всяко 1/N, и после нищо. Пусни тона 440 Hz и дръпни N до 36: тогава средното обхваща точно един период на тона (≈ 2,3 ms) и тонът почти изчезва (−40 dB). Пляскането пък става все по-глухо.

Обратна връзка: рекурсивен (БИХ) филтър

Сега част от изхода се връща обратно на входа: y(n) = x(n) + ↔ дръпни0,6 · y(n − D), с D = ↔ дръпни150 ms. Тогава ехото пак влиза във филтъра и дава ново ехо, а то – още едно: всяко ехо е 0,6 от предишното – ехата затихват.

Такъв филтър е рекурсивен, или БИХ – с безкрайна импулсна характеристика: теоретично ехата продължават вечно. Той може да е неустойчив: ако обратната връзка е по-силна от 1, всяко ехо е по-силно от предишното.

БИХ (IIR) – с обратна връзка; малко коефициенти, но може да е неустойчив.

🧒 Микрофон до колона: звукът се връща пак и пак – и или затихва, или писука все по-силно.

Ехо с обратна връзка

Импулсна характеристика h(n): какво прави системата с едно пляскане

h(n)

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Изходът: звукът с обратната връзка

изходът y(n)

обратна връзка g

0,6

закъснение D

150 ms

Фигура 5.

Горе – отпечатъкът: стебла на всеки D ms, всяко g пъти по-голямо от предишното. При отрицателно g знакът се сменя на всяко ехо. Дръпни g над 1 – изходът избухва.

Полюси, нули и устойчивост

Диференчното уравнение може да се запише като дроб – предавателна функция H(z). Корените на знаменателя са полюсите ×, корените на числителя – нулите ○. Нанасяме ги на карта с кръг с радиус 1, и картата казва всичко за филтъра.

Двойка полюси е резонатор: пляскането през него звъни като камбанка. Под ъгъл ↔ дръпни30° звънът е на 1330 Hz; на разстояние ↔ дръпни0,995 от центъра звънти около 57 ms.

Устойчив – всички полюси са вътре в кръга: звукът затихва.

Неустойчив – полюс е навън: звукът расте без край.

КИХ има полюси само в центъра – затова е винаги устойчив.

Резонатор: полюсите звънят

ПНД – полюсно-нулева диаграма

✓ Устойчива – всички полюси са вътре в кръга (max |p| = 0,995)

Хвани × или ○ и го премести. Посочиш ли честота в АЧХ, тя светва като точка по окръжността.

Кои честоти пропуска (АЧХ)

ЛАЧХ

Рекурсивна (БИХ) – има обратна връзка

ДУ:$y(n) = x(n) + 1{,}72\,y(n-1) - 0{,}99\,y(n-2)$

ПФ:$H(z) = \dfrac{1}{1 - 1{,}72\,z^{-1} + 0{,}99\,z^{-2}}$

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Изходът: звукът през резонатора

изходът y(n)

ъгъл на полюса

30°

радиус на полюса

0,995

Фигура 6.

Влачи × по кръга – ъгълът сменя тона (върхът в АЧХ се мести), а разстоянието до ръба – колко дълго звъни. Изкарай × навън: звукът расте без край. Пусни след всяка промяна.

Схемни реализации

Тухличка	Какво прави
Умножител (триъгълник)	умножава по коефициент
Суматор (кръг с +)	събира сигнали
Закъснение ($z^{-1}$)	помни стойността до следващия отчет

Същата H(z) може да се построи по различни начини. Кога коя се ползва:

Структура	Идея	Кога
Директна форма I / II	всички коефициенти в един блок (II споделя закъсненията → минимум памет)	проста, но чувствителна към закръгляне
Каскадна	верига от малки звена от 2-ри ред	най-често – малка чувствителност (виж тема 7)
Паралелна	сума от малки звена	независими звена, паралелна обработка
КИХ с линейна ФЧХ	симетрични коефициенти се събират преди умножението	наполовина по-малко умножители

Самопроверка

1. y(n) = x(n) + 0,5y(n−1). КИХ или БИХ? Устойчива ли е?

БИХ (има обратна връзка); полюс $z = 0{,}5$, вътре в окръжността → устойчива; $h(n) = 0{,}5^n$.

2. Знаменател 1 − 2,5z⁻¹ + z⁻² – устойчив ли е?

Полюсите са 2 и 0,5; полюсът 2 е извън окръжността → неустойчив. (А при 1 − 1,2z⁻¹ + 0,35z⁻² полюсите са 0,7 и 0,5 → устойчив.)

3. Какво значи z⁻¹ в блоковата схема?

Закъснение с един отчет (регистър/памет).