Задачата и габаритът

Пусни входа: думата е заглушена от равен писък на 4000 Hz. На спектрограмата той е хоризонтална светла линия. Гласът е под него, затова ни трябва НЧФ. Първо записваме изискването като габарит: думата до 2000 Hz да мине почти без промяна (до 1 dB разлика), а всичко от 3600 Hz нагоре да е поне 40 dB (100 пъти) по-слабо. Да намерим коефициенти, които влизат в габарита, се казва апроксимация.

Апроксимация – търсене на H(z), чиято АЧХ влиза в габарита.

Ред – колко закъснения има; по-висок ред = по-стръмен, но по-скъп филтър.

Думата с писъка

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Спектрограма: думата и писъкът (линията на 4k)

02k4k6k8k

0 mst – време → 1200 ms

Фигура 1.

Думата е петната под 3–4 kHz; писъкът е линията на 4000 Hz през целия запис.

КИХ с линейна ФЧХ

Ако коефициентите на КИХ филтъра са симетрични (h = [1, 2, 1]), всички честоти закъсняват с еднакво – M/2 отчета – и формата на звука се запазва. Според това дали h е симетрична или антисиметрична и дали дължината е четна, има четири типа:

	Тип 1	Тип 2	Тип 3	Тип 4
h(n)	симетрична	симетрична	антисиметрична	антисиметрична
дължина	нечетна	четна	нечетна	четна
АЧХ при 0 / при fs/2	свободна / свободна	свободна / 0	0 / 0	0 / свободна
става за	всичко	НЧФ, ЛФ	диференциатор, Хилберт	ВЧФ, диференциатор

Антисиметрия → сумата на h е 0 → не пропуска 0 Hz → не става НЧФ.

Четна дължина + симетрия → нула в z = −1 → не става ВЧФ.

h = [1, 2, 1]

b₀ = 1

b₁ = 2

b₂ = 1

АЧХ – амплитудно-честотна характеристика

АЧХ

ФЧХ – фазово-честотна характеристика

ФЧХ θ/π

ГВЗ – групово време на закъснение

ГВЗ

ПНД – полюсно-нулева диаграма

✓ Устойчива – всички полюси са вътре в кръга (max |p| = 0)

Хвани × или ○ и го премести. Посочиш ли честота в АЧХ, тя светва като точка по окръжността.

Фигура 2.

1 + 2 + 1 = 4 при 0 Hz и 1 − 2 + 1 = 0 при fs/2 – НЧФ, а ГВЗ е 1 отчет навсякъде. Наруши симетрията (b₀ ≠ b₂): ФЧХ се изкривява и ГВЗ спира да е права.

Метод на прозорците (КИХ)

Идеалният НЧФ има безкрайна h(n) = sin(Ωc·n)/(πn). Методът е прост: отрязваме я до M + 1 коефициента и я омекотяваме с прозорец W(n) – функция, която плавно свежда краищата до нула. Рязкото отрязване (правоъгълен прозорец) оставя ~9 % вълнички около среза – ефектът на Гибс, колкото и дълъг да е филтърът.

Колкото по-плавен е прозорецът, толкова по-дълбоко спира, но толкова по-широк е преходът – и трябват повече коефициенти за същата стръмност.

Прозорец – плавно „затъмняване“ на краищата на h(n).

Гибс – вълничките от рязкото отрязване.

Прозорец	Страничен лист на прозореца	Затихване на получения филтър	Ширина на прехода
правоъгълен	−13 dB	≈ 21 dB	4π/M (най-тесен)
Хан	−31 dB	≈ 44 dB	8π/M
Хеминг	−41 dB	≈ 53 dB	8π/M
Блекман	−57 dB	≈ 74 dB	12π/M

Внимание: двете числа са различни неща. В таблиците на прозорците обикновено пише страничният лист на самия прозорец; тук филтърът спира с затихването от третата колона.

КИХ срещу писъка

прозорец правоъгъленБартлетХанХемингБлекман

КИХ: 41 коефициента (ред M = 40)

ЛАЧХ в габарита (1 = 8000 Hz)

ЛАЧХ

✓ Кривата минава през коридорите – филтърът е в габарита

Писъкът е 60 dB по-тих · 41 умножения на отчет

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Изходът: звукът след КИХ

изходът y(n)

Фигура 3.

Хеминг с 41 коефициента влиза в габарита; с 31 преходът е твърде широк и думата се изкривява. Правоъгълният не стига 40 dB с никаква дължина – чуй как писъкът остава. Блекман спира най-дълбоко, но иска повече коефициенти за същия преход.

Петте прозореца

ред M = 40 (41 коеф.)

прозорец БартлетХанХемингБлекман

ИХ на КИХ НЧФ, M = 40

отрязана sinc (правоъгълен) × Хеминг

ЛАЧХ и затихване в ЛЗ

правоъгълен: 21 dB Хеминг: 53 dB

Фигура 4.

Един и същ КИХ с различни прозорци: по-дълбоко спиране ⇔ по-широк преход.

Други методи за КИХ: дискретизация на АЧХ (задаваш АЧХ в M + 1 точки и правиш обратно DFT); минимум на квадратичната грешка; минимаксен (Паркс–Макклелън) – равномерни вълнички и най-нисък ред за даден габарит.

БИХ: готови аналогови прототипи

За БИХ не измисляме наново: взимаме класически аналогов филтър и го превеждаме в цифров. Четирите прототипа се различават по това къде позволяват вълнички:

Прототип	АЧХ	Ред за същия габарит
Бътъруърт	максимално плоска, без вълнички	най-висок
Чебишев I / II	вълнички в ЛП / в ЛЗ	по-нисък
Кауер (елиптичен)	вълнички и в двете	най-нисък

БИХ срещу писъка

Тип Бътъруърт (БИХ)Чебишев I, 1 dB (БИХ)елиптичен, 1/60 dB (БИХ)

ред N = 5

ЛАЧХ в габарита (1 = 8000 Hz)

ЛАЧХ

✗ Кривата излиза от коридорите – не е в габарита

Писъкът е 29 dB по-тих · 11 умножения на отчет

Входът: звукът, както е записан

входът x(n)

Изходът: звукът след БИХ

изходът y(n)

Фигура 5.

Намери най-ниския ред на всеки прототип, който влиза в габарита: елиптичният – ред 5 (11 умножения), Чебишев – 6, Бътъруърт – 9. КИХ искаше 41. Цената на БИХ: нелинейна фаза.

КИХ срещу БИХ

ЛАЧХ: двата филтъра от фигури 3 и 5

КИХ (41 умн./отчет) БИХ (11 умн./отчет)

КИХ: h(n) – крайна, симетрична

h(n)

БИХ: h(n) – безкрайна

h(n)

Фигура 6.

Двата филтъра, проектирани по-горе, един до друг. Броят умножения е в легендата.

Билинейно z-преобразуване

Как аналоговият прототип става цифров? Билинейното z-преобразуване заменя s с израз от z. То слага цялата безкрайна аналогова честотна ос в 0…fs/2 – затова няма aliasing и устойчивият аналогов филтър остава устойчив. Цената е изкривяване на честотите: високите се свиват. Затова граничните честоти първо се предизкривяват, за да паднат на правилното място.

Предизкривяване – цифровите граници се местят в аналоговата област с tg, проектира се там, после се връща.

Пример: fc = 1 kHz при fs = 8 kHz → аналоговият прототип се прави за ≈ 1055 Hz.

Навиването на честотите

цифрова fc = 1000 Hz при fd = 8 kHz

Предизкривяване: 1000 Hz → аналоговата трябва да е 1055 Hz

Ω = (2/T)·tg(ωT/2) Ω = ω (без изкривяване) fc

Рекурсивна (БИХ) – има обратна връзка

ДУ:$y(n) = 0{,}293\,x(n) + 0{,}293\,x(n-1) + 0{,}414\,y(n-1)$

ПФ:$H(z) = \dfrac{0{,}293 + 0{,}293\,z^{-1}}{1 - 0{,}414\,z^{-1}}$

ПНД – полюсно-нулева диаграма

✓ Устойчива – всички полюси са вътре в кръга (max |p| = 0,414)

ЛАЧХ: при Ω/π = 0,25 (1 kHz) точно −3 dB

ЛАЧХ

Фигура 7.

Горе: аналоговата честота спрямо цифровата – ниско съвпадат, към fs/2 аналоговата бяга в безкрайност. Долу: Бътъруърт 1-ви ред, H(z) = 0,293(1 + z⁻¹)/(1 − 0,414z⁻¹); благодарение на предизкривяването −3 dB е точно на 1 kHz.

Други видове от НЧФ: готов цифров НЧФ се превръща във ВЧФ, ЛФ или РФ, като z⁻¹ се замести с подходяща функция (Константинидес). При ЛФ и РФ заместването е с z⁻² → редът се удвоява.

Инвариантна импулсна характеристика

Друг начин: цифровата h(n) да е просто отчети от аналоговата, h(n) = T·hₐ(nT). Пример: T(s) = 2/(s + 2) при T = 0,1 s дава h(n) = 0,2·0,8187ⁿ. Но снимането на hₐ(t) внася aliasing (тема 1) – АЧХ не пада до нула при fs/2. Затова методът става само за НЧФ и ЛФ.

Инвариантна ИХ

h(n) = 0,2·0,8187ⁿ

h(n)

АЧХ: не пада до 0 при fs/2 (aliasing)

АЧХ

Самопроверка

1. Кой прозорец спира най-дълбоко – правоъгълен или Блекман? Каква е цената?

Блекман (≈ 74 dB срещу ≈ 21 dB), но преходът е 3 пъти по-широк – трябват повече коефициенти.

2. Защо се прави предизкривяване при билинейното преобразуване?

То свива безкрайната аналогова ос в 0…fs/2 нелинейно (tg); без предизкривяване граничните честоти се изместват.

3. Защо елиптичният филтър изпълнява габарита с много по-нисък ред от Бътъруърт?

Позволява вълнички и в ЛП, и в ЛЗ – „изразходва“ целия допуск, вместо да е плосък.

4. Защо методът с инвариантна ИХ не става за ВЧФ?

Снимането на hₐ(t) огледува спектъра около fs/2; АЧХ на ВЧФ не пада до нула там, затова копията се застъпват (aliasing).