Честотна характеристика (АЧХ)
В тема 3 описахме филтъра с това, какво прави с едно пляскане. Друг, често по-полезен въпрос е: колко пропуска от всяка честота? Отговорът е амплитудно-честотната характеристика – АЧХ.
Най-лесно се вижда със свирката: тя минава през всички честоти от 100 до 7900 Hz една след друга. Колкото по-силно излиза в даден момент, толкова повече филтърът пропуска от честотата, която звучи точно тогава. Обвивката на изхода е АЧХ.
ПНД – полюсно-нулева диаграма
✓ Устойчива – всички полюси са вътре в кръга (max |p| = 0,9)
Хвани × или ○ и го премести. Посочиш ли честота в АЧХ, тя светва като точка по окръжността.
АЧХ (1 на оста = fs/2 = 8000 Hz)
АЧХ
Входът: звукът, както е записан
входът x(n)
Изходът: звукът през филтъра
изходът y(n)
Изходът е най-силен в началото (ниските честоти) и заглъхва към края – точно като АЧХ отгоре. Влачи полюсите и нулата и пусни пак: обвивката на изхода повтаря новата АЧХ.
От z към честота: единичната окръжност
Откъде идва АЧХ? Честотата е точка по единичната окръжност на картата с полюсите и нулите. Ω = 0 (постоянен ток) е вдясно, z = 1; fs/2 (тук 8000 Hz) е вляво, z = −1. Докато свирката се качва, точката обикаля горната половина на кръга.
Правилото за четене: близо до полюс × АЧХ има връх; близо до нула ○ – пропада. Нула точно върху окръжността изтрива тази честота напълно.
Какво да забележиш: посочи честота в АЧХ на фигура 1 – тя светва като точка по окръжността. Премести нулата от z = −1 нагоре по кръга: там свирката внезапно замлъква – това е режекторен филтър.
Видове филтри: НЧФ, ВЧФ, ЛФ, РФ
Филтърът е система, чиято АЧХ е ≈ 1 там, където искаме да пропуска, и ≈ 0 там, където искаме да спира. Според това къде е „1“ има четири вида. Тук филтърът пропуска всичко под 1000 Hz; границите са 1000 Hz и 3000 Hz.
ЛАЧХ на филтъра (1 = 8000 Hz)
ЛАЧХ
Входът: звукът, както е записан
входът x(n)
Изходът: звукът филтрирана
изходът y(n)
НЧФ до 1000 Hz: думата е глуха, като през стена. ВЧФ над 3000 Hz: остават само съскащите „с“ и „з“. Сложи ЛФ с граници 300 и 3400 Hz: телефонен глас. Сравни спектрограмата с тази на входа (смени звука на свирка – ще видиш точно къде е лентата).
ЛАЧХ и затихване в децибели
АЧХ често се рисува в децибели – ЛАЧХ (логаритмична АЧХ): 0 dB = минава без промяна, −20 dB = 10 пъти по-слабо, −40 dB = 100 пъти. Обратното число се казва затихване: колко dB губи сигналът. В dB се виждат и слабите остатъци – на фигура 2 лентата на задържане е около −50…−70 dB.
Фаза и групово закъснение (ФЧХ, ГВЗ)
Филтърът не само отслабва честотите – той ги и забавя. С колко се отмества всяка честота, казва фазово-честотната характеристика (ФЧХ), а с колко отчета закъснява – груповото време на закъснение (ГВЗ).
Ако всички честоти закъсняват еднакво, формата на сигнала се запазва – само идва по-късно. Това е линейна ФЧХ и я има КИХ филтърът със симетрични коефициенти. БИХ филтърът (Бътъруърт) забавя честотите около срязването повече от другите – пляскането се „размазва“.
ред N = 6
fc = 1000 Hz
ЛАЧХ – логаритмична АЧХ
ЛАЧХ
ФЧХ – фазово-честотна характеристика
ФЧХ θ/π
ГВЗ – групово време на закъснение
ГВЗ
ПНД – полюсно-нулева диаграма
✓ Устойчива – всички полюси са вътре в кръга (max |p| = 0,905)
Входът: звукът, както е записан
входът x(n)
Изходът: звукът след филтъра
изходът y(n)
Един НЧФ в четири изгледа и пляскането през него. При Бътъруърт ГВЗ има гърбица около fc: изходът звъни несиметрично. Смени на КИХ: ФЧХ става права, ГВЗ – хоризонтална линия ((N − 1)/2 отчета), а изходът е симетрично, само закъснял пляскане. Приближи, за да видиш закъснението.
Идеален и реален филтър: габарит
Идеалният НЧФ (АЧХ = 1 до fc и 0 след това) има безкрайна импулсна характеристика, която започва преди импулса – не може да се направи. Затова изискването се задава с габарит – „коридори“ с допуски:
| Параметър | Значение |
|---|---|
| ωp, ωs | край на лентата на пропускане (ЛП) и начало на лентата на задържане (ЛЗ); между тях – преходната област |
| δp, δs | позволените отклонения в ЛП и в ЛЗ |
| a_max, a_min | същото в dB: максимално затихване в ЛП, минимално в ЛЗ |
ред N = 4
fc = 1000 Hz
Габарит на НЧФ – линейно
АЧХ
✗ Кривата излиза от коридорите – не е в габарита
Същият габарит в dB
ЛАЧХ
✗ Кривата излиза от коридорите – не е в габарита
fs = 8 kHz, ЛП до 0,2π (800 Hz) с δp = 0,1, ЛЗ от 0,4π (1600 Hz) с δs = 0,01 (40 dB). Намери най-ниския ред на Бътъруърт, с който кривата минава през зелените коридори (ред 4 не стига). После пробвай КИХ – колко коефициента трябват за същото?
КИХ срещу БИХ
| КИХ (нерекурсивни) | БИХ (рекурсивни) | |
|---|---|---|
| ➕ | линейна ФЧХ; винаги устойчиви; закръглянето не им пречи | стръмни при нисък ред; получават се от аналогови (Бътъруърт, Чебишев, Кауер) |
| ➖ | много по-висок ред → повече сметки | нелинейна ФЧХ; могат да са неустойчиви; чувствителни към закръгляне |
Пример: тесен ЛФ (fs = 2 kHz, лента 475–525 Hz) иска КИХ от ред 78 или БИХ от ред 7.
Аналогови срещу цифрови: цифровите са точни, повторяеми и лесно се сменят (само числа), могат да имат линейна фаза; но работят само до fs/2 и искат АЦП и ЦАП. Аналоговите са нужни за много високите честоти и като пред/пост-филтри.
Самопроверка
1. fs = 8 kHz. На каква честота в Hz отговаря Ω = π/4?
f = Ω·fs/2π = 1 kHz.
2. КИХ с 31 симетрични коефициента – какво е закъснението?
(31 − 1)/2 = 15 отчета за всички честоти.
3. Къде на единичната окръжност е fs/2? Какво прави нула там?
В z = −1. Нула там изтрива най-високата честота – типично за НЧФ.
4. Кой е минималният ред на Бътъруърт за габарита от фигура 4?
Ред 7 при fc ≈ 900 Hz. При ред 6 няма fc, с която да влезе.