learn.armstankov

Листче с формули ​

Всички формули от темите на едно място. В самите теми формулите са описани с думи и показани в графиките – тук е справочникът за изпита.

1. Представяне на непрекъснатите сигнали в цифрова форма

Период и честота на дискретизацияT0=1fsT_0 = \dfrac{1}{f_s}
T₀ – колко секунди има между две снимки; fs – колко снимки в секунда (Hz).
Квантуван отчет и грешкаxq(nT0)=q[x(nT0)],εq=q(x)−xx_q(nT_0) = q[x(nT_0)], \qquad \varepsilon_q = q(x) - x
Брой битове за m ниваn=log⁡2m(m=2n)n = \log_2 m \quad (m = 2^n)
Теорема на Найкуист–Шанън (Котелников)fs>2W,fN=fs2f_s > 2W, \qquad f_N = \dfrac{f_s}{2}
W – най-високата честота в сигнала; fs/2 – честотата на Найкуист.
Възстановяване (sinc интерполация)x^(t)=∑nx(nT0) sin⁡(ωmax(t−nT0))ωmax(t−nT0),T0=π/ωmax\hat{x}(t) = \sum_n x(nT_0)\,\dfrac{\sin(\omega_{max}(t - nT_0))}{\omega_{max}(t - nT_0)}, \quad T_0 = \pi/\omega_{max}
Лъжлива честотаfalias=∣f−k fs∣,k=round⁡(f/fs)f_{alias} = |f - k\,f_s|, \quad k = \operatorname{round}(f/f_s)
Апертурно отслабване∣H(f)∣=∣sinc⁡(fτ)∣|H(f)| = |\operatorname{sinc}(f\tau)|
τ – колко трае една „снимка“; при τ = T₀ на fs/2 губим ≈ 3,9 dB.

2. Скаларно квантуване

Стъпка при b бита в обхвата [−1, 1)q=22b,m=2b ниваq = \dfrac{2}{2^b}, \qquad m = 2^b \text{ нива}
Мощност на шума на квантуванеσq2=q212\sigma_q^2 = \dfrac{q^2}{12}
Грешката е равномерна в [−q/2, q/2].
SNR при равномерен сигналSNR=10lg⁡x2‾σq2=10lg⁡(4m2)≈6,02 b+6 dB\text{SNR} = 10\lg\dfrac{\overline{x^2}}{\sigma_q^2} = 10\lg(4m^2) \approx 6{,}02\,b + 6 \text{ dB}
SNR при синус с амплитуда A (от пълния обхват)SNR≈6,02 b+1,76+20lg⁡A dB\text{SNR} \approx 6{,}02\,b + 1{,}76 + 20\lg A \text{ dB}
PSNR (картинки)PSNR=10lg⁡xmax2σq2≈6,02 b+10,8 dB\text{PSNR} = 10\lg\dfrac{x_{max}^2}{\sigma_q^2} \approx 6{,}02\,b + 10{,}8 \text{ dB}
μ-закон (μ = 255)F(x)=sgn⁡(x) ln⁡(1+μ∣x∣)ln⁡(1+μ)F(x) = \operatorname{sgn}(x)\,\dfrac{\ln(1 + \mu|x|)}{\ln(1 + \mu)}
Компресия преди равномерното квантуване, обратното разширение след него.
Lloyd–Max – условие 1 (прагове)zk=qk−1+qk2z_k = \dfrac{q_{k-1} + q_k}{2}
Lloyd–Max – условие 2 (нива)qk=∫zkzk+1z W(z) dz∫zkzk+1W(z) dzq_k = \dfrac{\int_{z_k}^{z_{k+1}} z\,W(z)\,dz}{\int_{z_k}^{z_{k+1}} W(z)\,dz}
Нивото е центърът на тежестта на своя интервал.

3. Описание във времева и z-област. Схемни реализации

Конволюцияy(n)=∑kx(k) h(n−k)=x(n)∗h(n)y(n) = \sum_k x(k)\,h(n-k) = x(n) * h(n)
Всеки входен отчет пуска копие на h(n); изходът е сумата им.
Диференчно уравнение (ДУ)y(n)=∑i=0Mbi x(n−i)−∑k=1Nak y(n−k)y(n) = \sum_{i=0}^{M} b_i\,x(n-i) - \sum_{k=1}^{N} a_k\,y(n-k)
bᵢ – права посока, aₖ – обратна връзка; M, N – редове.
Преходна от импулсна характеристикаg(n)=∑k≤nh(k)g(n) = \sum_{k \le n} h(k)
Закъснение в z-областтаx(n−k)  ⇒  z−k X(z)x(n-k) \;\Rightarrow\; z^{-k}\,X(z)
Предавателна функцияH(z)=Y(z)X(z)=b0+b1z−1+⋯+bMz−M1+a1z−1+⋯+aNz−NH(z) = \dfrac{Y(z)}{X(z)} = \dfrac{b_0 + b_1 z^{-1} + \dots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + \dots + a_N z^{-N}}
При КИХ има само числител.
Нули и полюсиH(z)=b0 ∏(1−ziz−1)∏(1−pkz−1)H(z) = b_0\,\dfrac{\prod (1 - z_i z^{-1})}{\prod (1 - p_k z^{-1})}
zᵢ – нули (H = 0), pₖ – полюси (H → ∞).
Устойчивост∣pk∣<1 за всички полюси|p_k| < 1 \text{ за всички полюси}
Пример – натрупванеy(n)=x(n)+0,9 y(n−1)  ⇒  H(z)=11−0,9z−1y(n) = x(n) + 0{,}9\,y(n-1) \;\Rightarrow\; H(z) = \dfrac{1}{1 - 0{,}9z^{-1}}
При стъпало на входа изходът клони към 1/(1 − 0,9) = 10.

4. Честотна област. Цифрова филтрация – основни понятия

От z към честотаz=ejΩ,Ω=2πffs∈[0,π]z = e^{j\Omega}, \quad \Omega = 2\pi\dfrac{f}{f_s} \in [0, \pi]
Ω = 0 е z = 1 (постоянен ток), Ω = π е z = −1 (fs/2).
АЧХ и ФЧХH(ejΩ)=∣H(Ω)∣ ejθ(Ω)H(e^{j\Omega}) = |H(\Omega)|\,e^{j\theta(\Omega)}
ЛАЧХ и затихване20lg⁡∣H∣ dB,a=−20lg⁡∣H∣ dB20\lg|H| \text{ dB}, \qquad a = -20\lg|H| \text{ dB}
ГВЗτ(Ω)=−dθdΩ\tau(\Omega) = -\dfrac{d\theta}{d\Omega}
В отчети; КИХ със симетрични коефициенти – (N − 1)/2 за всички честоти.
Нормирана честота (MATLAB)F′=ffs/2∈[0,1]F' = \dfrac{f}{f_s/2} \in [0, 1]
Габаритamax=−20lg⁡(1−δp),amin=−20lg⁡δsa_{max} = -20\lg(1 - \delta_p), \qquad a_{min} = -20\lg\delta_s
Идеален НЧФ (некаузален)h(n)=sin⁡(Ωcn)πnh(n) = \dfrac{\sin(\Omega_c n)}{\pi n}

5. Апроксимация (проектиране) на цифрови филтри

Линейна ФЧХ (симетрична h)h(n)=h(M−n)  ⇒  θ(Ω)=−M2 Ω,τ=M2h(n) = h(M - n) \;\Rightarrow\; \theta(\Omega) = -\dfrac{M}{2}\,\Omega, \quad \tau = \dfrac{M}{2}
Идеален НЧФhd(n)=sin⁡(Ωcn)πnh_d(n) = \dfrac{\sin(\Omega_c n)}{\pi n}
Метод на прозорцитеh(n)=hd ⁣(n−M2)W(n),n=0…Mh(n) = h_d\!\left(n - \tfrac{M}{2}\right) W(n), \quad n = 0 \dots M
ХемингW(n)=0,54+0,46cos⁡2πnM,∣n∣≤M/2W(n) = 0{,}54 + 0{,}46\cos\dfrac{2\pi n}{M}, \quad |n| \le M/2
БлекманW(n)=0,42+0,5cos⁡2πnM+0,08cos⁡4πnMW(n) = 0{,}42 + 0{,}5\cos\dfrac{2\pi n}{M} + 0{,}08\cos\dfrac{4\pi n}{M}
Билинейно z-преобразуванеs=2T⋅1−z−11+z−1s = \dfrac{2}{T}\cdot\dfrac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
ПредизкривяванеΩa=2T tg⁡ωT2\Omega_a = \dfrac{2}{T}\,\operatorname{tg}\dfrac{\omega T}{2}
Инвариантна ИХh(n)=T ha(nT)h(n) = T\,h_a(nT)
Пример – инвариантна ИХT(s)=2s+2, T=0,1  ⇒  H(z)=0,21−0,8187z−1T(s) = \dfrac{2}{s + 2},\ T = 0{,}1 \;\Rightarrow\; H(z) = \dfrac{0{,}2}{1 - 0{,}8187z^{-1}}
Минимаксна грешка (Паркс–Макклелън)max⁡ωW(ω) ∣Hd(ω)−H(ω)∣→min⁡\max_\omega W(\omega)\,|H_d(\omega) - H(\omega)| \to \min

6. Реализация на системи за ЦОС. Паразитни ефекти

Дробно число с фиксирана запетая (B бита)x∈[−1, 1−2−(B−1)],δ=2−(B−1)x \in [-1,\ 1 - 2^{-(B-1)}], \qquad \delta = 2^{-(B-1)}
Динамичен диапазонD=20lg⁡(2B−1)≈6,02 B dBD = 20\lg(2^B - 1) \approx 6{,}02\,B \text{ dB}
Допълнителен код−N=N‾+1 (в LSB)-N = \overline{N} + 1 \text{ (в LSB)}
Грешка при закръглениеe∈[−δ2,δ2],m=0,σe2=δ212e \in [-\tfrac{\delta}{2}, \tfrac{\delta}{2}], \quad m = 0, \quad \sigma_e^2 = \dfrac{\delta^2}{12}
Отсичане в допълнителен кодe∈[−δ,0],m=−δ2,σe2=δ212e \in [-\delta, 0], \quad m = -\tfrac{\delta}{2}, \quad \sigma_e^2 = \dfrac{\delta^2}{12}
Отсичане в прав/обратен кодe∈[−δ,δ],m=0,σe2=δ23e \in [-\delta, \delta], \quad m = 0, \quad \sigma_e^2 = \dfrac{\delta^2}{3}
SNR при закръглениеSNR=10,8+6B+10lg⁡σx2 dB\text{SNR} = 10{,}8 + 6B + 10\lg\sigma_x^2 \text{ dB}
Нормиране на коефициентитеα=2−i≤1max⁡∣bk∣\alpha = 2^{-i} \le \dfrac{1}{\max|b_k|}
Умножението по 2⁻ⁱ е изместване (shift) с i бита.

7. Квантуване на коефициентите и произведенията. Препълване и гранични цикли

КИХ – грешка в АЧХ от закръглени коефициенти∣ΔH(ejω)∣≤(M+1) 2−B2|\Delta H(e^{j\omega})| \le (M + 1)\,\dfrac{2^{-B}}{2}
l₁-норма (без препълване)G=∑n∣f(n)∣,K=1/GG = \sum_n |f(n)|, \qquad K = 1/G
l₂-нормаG=∑nf2(n)G = \sqrt{\textstyle\sum_n f^2(n)}
БИХ от I ред h(n) = aⁿGl1=11−∣a∣,Gl2=11−a2G_{l_1} = \dfrac{1}{1 - |a|}, \qquad G_{l_2} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - a^2}}
Мъртва зона – I ред∣y∣≤δ2(1−∣a∣)|y| \le \dfrac{\delta}{2(1 - |a|)}
Мъртва зона – II ред (Джаксън)Amax≈δ2(1−∣a2∣)A_{max} \approx \dfrac{\delta}{2(1 - |a_2|)}
Шум от произведенията на изходаσε2=σe2∑i=1L∑ngi2(n),σe2=2−2B12\sigma_\varepsilon^2 = \sigma_e^2 \sum_{i=1}^{L} \sum_n g_i^2(n), \qquad \sigma_e^2 = \dfrac{2^{-2B}}{12}
Пример – шумово усилванеg(n)=0,9n  ⇒  ∑g2=11−0,81≈5,26g(n) = 0{,}9^n \;\Rightarrow\; \sum g^2 = \dfrac{1}{1 - 0{,}81} \approx 5{,}26

8. Унитарни (ортогонални) трансформации

Права и обратна трансформацияY=[T] X,X=[T]−1 YY = [T]\,X, \qquad X = [T]^{-1}\,Y
Ортогонална матрица[T]−1=[T]t[T]^{-1} = [T]^t
Завъртане на 45° (два пиксела)y1=x1+x22,y2=x2−x12y_1 = \dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt2}, \quad y_2 = \dfrac{x_2 - x_1}{\sqrt2}
Парсевал (енергията се запазва)∑xi2=∑yk2\sum x_i^2 = \sum y_k^2
DCT-IIy(k)=c(k)∑i=0N−1x(i)cos⁡πk(2i+1)2N,c(0)=1/N, c(k)=2/Ny(k) = c(k)\sum_{i=0}^{N-1} x(i)\cos\dfrac{\pi k(2i+1)}{2N}, \quad c(0) = \sqrt{1/N},\ c(k) = \sqrt{2/N}
DFTy(k)=∑x(i) e−j2πik/Ny(k) = \sum x(i)\,e^{-j2\pi ik/N}
WHT (Адамар)H(2)=[111−1],H(2n)=[HHH−H]H(2) = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{bmatrix}, \quad H(2^n) = \begin{bmatrix}H & H\\ H & -H\end{bmatrix}
2D трансформация[F]=[A][f][A]t,[f]=[A]t[F][A][F] = [A][f][A]^t, \qquad [f] = [A]^t[F][A]
Бърз алгоритъмN2→Nlog⁡2NN^2 \to N\log_2 N
Коефициент на компресияCR=битове предибитове следCR = \dfrac{\text{битове преди}}{\text{битове след}}

9. Векторно квантуване (VQ)

Най-близкият съседi0=arg⁡min⁡id(X,Vi),dE=∑n(xn−vn(i))2i_0 = \arg\min_i d(X, V_i), \qquad d_E = \sum_n (x_n - v_n^{(i)})^2
Битове и компресияR=log⁡2LN бита/отчет,CR=8Nlog⁡2LR = \dfrac{\log_2 L}{N} \text{ бита/отчет}, \qquad CR = \dfrac{8N}{\log_2 L}
L – вектори в книгата; N – отчети във вектор.
Центроид (LBG)Vi=1Ni∑Xj∈KiXjV_i = \dfrac{1}{N_i}\sum_{X_j \in K_i} X_j
Бягащо средно (онлайн LBG)Vi(j)=NiVi(j−1)+XjNi+1V_i(j) = \dfrac{N_i V_i(j-1) + X_j}{N_i + 1}
Сферично VQg=∥X∥,S=X/g,R=log⁡2Ng+log⁡2NSNg = \lVert X \rVert, \quad S = X/g, \qquad R = \dfrac{\log_2 N_g + \log_2 N_S}{N}

10. Кодиране чрез линейно предсказване

Грешка на предсказванеe(i)=x(i)−x^(i)e(i) = x(i) - \hat{x}(i)
DPCMx^i=ρ x~i−1,x~i=x^i+Q(ei)\hat{x}_i = \rho\,\tilde{x}_{i-1}, \quad \tilde{x}_i = \hat{x}_i + Q(e_i)
Кодерът предсказва от възстановеното x̃, както декодерът.
Коефициент на компресияCR=log⁡2mxlog⁡2meCR = \dfrac{\log_2 m_x}{\log_2 m_e}
Предсказване от ред p (LPC)s^(i)=∑k=1pa(k) s(i−k)\hat{s}(i) = \sum_{k=1}^{p} a(k)\,s(i-k)
Юл–УокърR(l)=∑ka(k) R(k−l),R(l)=1N∑is(i) s(i−l)R(l) = \sum_{k} a(k)\,R(k - l), \qquad R(l) = \dfrac{1}{N}\sum_i s(i)\,s(i-l)
Печалба от предсказванеGp=10lg⁡σx2σe2 dBG_p = 10\lg\dfrac{\sigma_x^2}{\sigma_e^2} \text{ dB}
6 dB ≈ 1 бит по-малко.
2D предсказване (равнина)X^=A+C−B\hat{X} = A + C - B
LMSai+1(k)=ai(k)+2μ e(i) s(i−k),0<μ<1(n−1) E{s2}a_{i+1}(k) = a_i(k) + 2\mu\,e(i)\,s(i-k), \qquad 0 < \mu < \dfrac{1}{(n-1)\,E\{s^2\}}

11. Подлентово кодиране (SBC) и уейвлети

Децимация ↓2 в z-областтаY(z2)=12[W(z)+W(−z)]Y(z^2) = \tfrac12\left[W(z) + W(-z)\right]
Членът с W(−z) е aliasing.
Изходът на системата с 2 лентиX^(z)=12[H0G0+H1G1] X(z)+12[H0(−z)G0+H1(−z)G1] X(−z)\hat{X}(z) = \tfrac12[H_0G_0 + H_1G_1]\,X(z) + \tfrac12[H_0(-z)G_0 + H_1(-z)G_1]\,X(-z)
Без aliasing (AC)H0(−z)G0(z)+H1(−z)G1(z)=0H_0(-z)G_0(z) + H_1(-z)G_1(z) = 0
Перфектно възстановяване (PR)H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=2z−DH_0(z)G_0(z) + H_1(z)G_1(z) = 2z^{-D}
QMFH1(z)=H0(−z),G0=H0,G1=−H1H_1(z) = H_0(-z), \quad G_0 = H_0, \quad G_1 = -H_1
ХаарL=x1+x22,H=x1−x22L = \dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt2}, \qquad H = \dfrac{x_1 - x_2}{\sqrt2}
Ниската лента след L нива0…fs2L+10 \dots \dfrac{f_s}{2^{L+1}}
DWTW(a,b)=1a∑ix(i) h ⁣(i−ba),a=a0mW(a, b) = \dfrac{1}{\sqrt a}\sum_i x(i)\,h\!\left(\dfrac{i - b}{a}\right), \quad a = a_0^m